[미적분으로 바라본 하루] 일상 속 어디에나 있는 수학 찾기

미적분으로 바라본 하루

안녕하세요. 오늘은 미적분으로 바라본 하루 책을 가지고 왔습니다.

쭉 훑어보니까요. 감기 비적보나 그런 챕터가 눈에 띄었어요.
코로나가 언제 끝나나 모두 답답해하고 있잖아요.
이 챕터에서는 전염병의 감염 비 그래프가 나오는데 마지막에

점점 느는 비율이 증가한다고 합니다.
이걸 보고 우리 모두가 희망을 가졌으면 해요.
또 커피의 온도 변화로 보는 극한 달콤함에 미적분학 미적분으로 영화관에서 좋은 자리 찾기 등등 흥미를 끄는 챕터가 많아서 책을 열심히 읽었습니다.
책의 난이도는 꽤 높았어요. 무조건 극한이 계속 나오고요 함수식 등 챕터마다 나오기 때문이었어요.
하지만 수학을 좋아하시는 분들 수학에 관심 있는 분들 그리고 고등학교 수학을 공부하는 분들 대학 수학 공부하는 분들

읽을 만한 책이라고 추천드리고 싶습니다.
그럼 가볼까요.

금으로 바라본 하루 책을 한번 볼게요 이제는 일상 속 어디에나 있는 수학 찾기입니다.
저자는 오 스카이 페르난데스라는 웰즐리 대학 수학과 조교수이십니다.
녹차를 보겠습니다. 일어나서 함수의 냄새를 맡아보자 뉴턴의 집에서 아침 식사를 하자 도함수로 이루어진 모든 것 이 적분으로 연결된

이 정도면 한 잔 마시면 조금 나아질 거야 미적분의 방식대로 더해보자 이분과 적분으로 이루어진 드림팀 이렇게 이루어져 있습니다.
현기의 미적분학 부분 읽어볼게요 보통 어머니들이 아이들에게 비를 맞지 말라고 얘기하시잖아 지금까지도 우리 어머니는 비를 맞으면 감기에 걸린다고 말씀하시지

물론 일부분은 사실이지만 우리 어머니가 하시는 말씀의 근거들은 대부분 틀리다는 거지 일반적인 감기는 감염된 사람들과 접촉을 통해서 전염된 이건 비가 오는 것과 상관이 없어요.
그렇다면 왜 젖은 사람들이 옆에 앉는 게 걱정이 되는 걸까 왜냐하면 비 오는 날에는 사람들이 건물 안에만 있기 때문에 이미 감기에 걸린 사람과 접촉할 확률이 높아지기 때문이야

미팅에 참가한 사람 중에 감기에 걸린 사람이 있는지는 모르겠지만 만약 감기에 걸린 사람이 있다면 미팅이 끝나기 전에 내가 기에 걸릴 확률은 어떻게 될까 나를 포함해 미팅에 참가한 20명을 두 그룹으로 나눠보자 한 그룹은 감염된 사람으로 아이라고 표시하고 감염되지 않은 사람들을 s라고 해둘게 이 두 숫자는 miti 도중에 바뀔 수 있는데 시간의 함수로 나타낼 수 있어 시간 t의 함수 it와 st로 써볼까 총인원이 20명이니까 다음 시기 성립하지 it st는

하지만 감염이 확산되는 걸 어떻게 표시할 수 있을까 감염이 확산되면 it가 변하겠지 그렇다면 도암수가 있다는 거야 5명이 감기에 걸려 있다고 해보자 사람들이 다른 사람들과 이야기하면 감기를 옮길 거야 전염되는 비율 it는 접촉을 많이 할수록 높을 거야 그렇다면 다음 모델을 살펴보자 ipmt는 kit st

여기서 k는 사람들이 접촉에 의해 얼마나 빠르게 감염되는지를 나타내는 양의 상소이고 곧 itst는 몇 번의 접촉이 일어날 수 있는지를 나타내지 23번 공식을 사용해서 24번 공식을 다음과 같이 쓸 수 있어 아이프라임은 ki 20 마이너스 즉 아이프라임은 20k아 마이너스 i 이 공식은 로지스틱 방정식이 예치

이 방정식이 해외인 감염된 사람의 수는 it는 1 32에 마이너스 kt 제곱 분의 1입니다.
이 로지스틱 방정식은 1837년 네덜란드 수학자이자 과학자인 크르 프랑스 베르 휠세트 수학 모델을 도입해서 인구 증가를 설명했다고 합니다.

그래프가 나와요 이게 우리가 초기에 코로나가 정말 될 것이다고 예상했던 그래프랑 굉장히 유사하죠.
그림 4 1 그래프에서 볼 수 있듯이 아 별표 이전에 it 곡선을 아래로 볼록하고 그다음에 위로 볼록하게 되지 3장에서 배운 것처럼

이건 아 별표 이전에 아이 프라임 프라임 t는 0보다 크고 이후 아이 프라임 프라임 t는 0보다 작다 이걸 뜻하지 그렇다면 t 별표는 변곡점이 될 거야 거기에 2차 도함수는 함수의 가속도를 나타낸다고 했으니까 t는 t의 별표에서 변곡점을 가진다는 건 매우 중요한 정보를 제공해 주지 즉 감염된 사람들 시간 프라임 t 별표 이전에는 점점 빠른 비율이 증가하는데 그 후에는 점점 느린 비율도 증가한다는 거지 이런 과정들을 살펴보면 시간 t의 별표에 감염된 사람의 수는

c는 10이야 그러니까 모임의 절반이 감염된 후에는 감염되는 속도가 느려진다는 거지 그러면 l은 무엇을 말하는 걸까 운이 나빠서 내가 하루 종일 회의에 있어야 한다면 결국 모든 사람이 감기에 걸릴 거라고 예측하겠지 그러니까 직관적으로 l은 20인 것을 알 수 있어 물론 극한을 사용해 확인할 수 있지 이게 a와 b가 양수일 때 logist 방정식이 일반적인 특징이야 해가 결국 극한 l에 가까워진다는 것을 이걸 포함.
밀도라고 불러

운 좋게도 1시간 반 만에 미팅이 끝났어 맨맛이 벌써 기침하는 게 보이는데 아직 난 괜찮은 것 같아 조금 마음을 가라앉히려고 미팅을 시작하고 1 시간 지난 뒤에 예상되는 감염된 사람 수를 계산해보려고 해 1 3 2의 20k 이제곱 0

이 숫자는 k에 따라 달라진다는 점에 유의해야 되는데 k는 감기가 얼마나 빠르게 전용되는지 나타내는 숫자야 일반적으로 키는 0 0이라고 하면 아 1은 6 64 정도인데 1 1 시간 뒤에 거의 두 사람이 감기에 더 걸렸을 거라는 거야 문제는 누가 감기에 걸렸는지 확인할 수가 없다는 거겠지 내 왼쪽에 앉았던 비해적인 학생이 감기에 걸렸을 수도 있고

아니면 완전히 괜찮아 보였던 오른쪽 사람이 감기에 걸렸을 수도 있어 하지만 어떤 경우에는 우리의 분석이 가능성을 좁히는 데 도움을 주었지 감기의 전염의 로지스틱 접근 방식을 통해 나와 다른 사람들이 연결되는 걸 알 수 있지 당연한 시티에 속하고 있지 다음은 커피에도 극한이 있다.
챕터입니다.

나와 같은 사람들은 주방에 들어서는 순간부터 동시에 여러 일을 하기 위한 준비가 되어 있어 거의 매일 아침 스토브를 켜고 계란 라이나 오트민을 만들지 그동안 점심으로 샌드위치를 챙겨서 오븐에 같이 구워 당연히 아침에 준비하는 동안 주방은 천천히 커피를 끓이는 향기와 냄새로 가득해지지 이러한 모든 변화들은 마음속에 존재한다는 고창이 나타내고 있어 냄새가 너무 좋아서 일단 커피에 잠깐 집중할게

나는 커피를 좋아하는 편은 아니지만 약 50%의 배부분들이 커피를 마시는 것으로 추산된다고 합니다 라이다가 커피를 먹고 좋아하는 게 내가 놀란 점은 커피가 굉장히 빠르게 싱크라는 점이 컵에 붙고 나서 10분 정도 지나면 사문으로 식어 있어 우선 아침 커피 한 잔에 숨겨져 있는 도원수를 말해줄게

커피 온도 티를 화시 단위로 측정하고 커피 메이커에서 커피 포트를 꺼내는 시간을 분 단위로 스몰티라고 부르다 커피 메이커는 커피를 160도 정도로 유지 않을까 제160이라고 할 수 있지 내가 아주 솜씨 좋게 커피 포트를 꺼내자마자 10억 분의 1초 만에 커피의 커피를 흘리지 않고 뽑았던 과정 해보자 2분 뒤에 커피에 온도계를 넣었는데 온도는 120도였어요.

그렇다면 t2는 12인 거지 아직 정보가 조금 부족한 것 같아 내 주방의 온도는 75도라는 걸 사용해서 온도의 함수 tt를 다음과 같이 정의할 수 있어 t는 75 85 2의 마이너스 082870시는 0보다 크고 2 작고나 같을 때 이 디스 함수의 그래프를 그린 2 35 이게 있으니까 나타냈어 우리가 처음에 발견한 점은 온도와 10분 사이에 매우 빠르게 감소한다는 거고 그 이후에는 굉장히 이렇게 감소한다는 점이야

이 공식은요 뉴턴의 냉각 법칙에서 가져왔고 냉각 법칙은 이분 방정식에 속한다고 합니다.
그래프가 이러해요. 그 후에는 결국 75도에 다다르는 것으로 보이지 방 온도가 75도니까 그렇게 놀랍지 않아 그렇다면 우리가 얘기해 왔던 도암표를 사용해서 매 순간 커피의 온도면을 표현해보자

첫 번째로 0과 5 사이에 있기는요 접선의 기운이 굉장히 큰 수요 그렇죠 시각적으로 알 수 있어 그렇다면 커피를 꺼내고 나서 티브 위의 순간 변화는 프레임 음수여서 커피 온도가 감소하는 걸 나타내는 셈이지 유용한 정보지만 나는 동수에 대해 알고 싶어 그러니까 단순한 질적인 정체를 더 나아보자 즉 내가 커피 포트를 커피 메이크업에서 꺼낸 순간 얼마나 빠르게 온도가 감소하는지 계산해 보자

수학적으로 우리는 t 0을 알고자 하는 거야 4번 공식 4번 공식은 뭐냐 공식은 이거예요.
4번 공식에 a는 0을 대입하고 함수 tt를 pt로 바꿔서 사용해 볼 거야 공식은 약간 정리가 극한을 구하는 것만 남았지 두려워하지 마 어떻게 시작해야 하는지 이미 알고 있잖아 점점 더 작아지는 h 값에서 평균 변화율을 계산하고 상상해 봐 이게 바로 우리가 요구한 공식의 극한

구하고자 해야 할 일이야 물론 우선 넣은 게 아닌 시절 h 값으로 넣은 결과를 기록해 보자 그다음에는요 여기 있습니다 가요

그다음에는 0이 아니지만 앞에 h보다 작은 숫자를 사용하는 거야 이런 과정을 극한 표에 나타냈어 우리가 원하는 것은 점점 더 작은 h 값을 대입할수록 결과가 숫자 어지는 거지 표의 숫자를 보면 h가 0에 가까울수록 평균 변화를 마이너스 2703에 가까워지고 있어 축하해 이제 수학자들이 그 칸을 보완해 사용하는 첫 번째 방법 이용 엄밀히 말하자면 더 작은 에이치 값에서 평균 변화비 17.03이 아닌 다른 숫자의 점점 가까워질 수 있으니까 우리는 그 칸 값을 추정한 거지

수학자들은 오류가 적게 발생하는 방법을 찾고자 했어 지금 나를 믿고 하면 0이 2703이라고 하자 모두를 위한 소식을 하나 전해주려고 해 물론 1분 뒤에 커피의 온도는 마이너스 2703 그만큼 감소할 테니까 어떤 사람은 순간 변화율이 분당 마이너스 2703도씩 변한다고 결론 지을 수 있지 굉장히 합리적인 계산이라고 보이지만 사실 팀의 생각이야 5번 공식이요 5번 공식은 뭐냐 이 공식입니다.

5번 공식에서 t0 마이너스 27 03을 기반하고 t1을 계산하면요.
두 가지 비교해 보면 둘이 다르다는 걸 알 수 있죠 간단히 설명하자면 온도가 떨어지는 속도가 일정하지 않다는 게 그림 2 3 아까 봤던 그림이죠.
그림 2 3 기분 2시 3 그래서 할선의 기울기를 분석한 것도 이제 봐도 알 수 있어 실제로 극한 표를 다시 작성해서

프라임 0 1과 t 프라 0.4를 구할 수 있고 모두 다른 t 값에서 순간 변화율 또한 구할 수 있어 이 결과들을 모아서 2 4 그래프를 구할 수가 있지 2 4 그래프의 y 값들은 주어진 값에서 tt의 도안을 나타내지 우리는 t는 0일 때 y 값이 마이너스 77.03이라는 걸 보고 알 수 있어 이게 tf 0이야 또한 t가 증가할수록 그래프의 기울기가 0에 가까워진다는 걸 알 수 있어

그림 2 3에서 기울기를 분석하면서 2 3에서 기울기 부석하면서 찾아냈던 것과 일치하지 그렇게 도암소 티프라임티를 그림이다시사에 나타낸 거야 이 함수는 말 그대로 t 0는 25 스타일을 t 파티로 모은 것이 보이라고 할 수 있어 어떻게 커피 온도가 매 순간 변하는지 설명해 줘 그렇지만 이제까지와 약간 다르다고 할 수 있어 우리는

아까 2 3에서 접선의 기울을 사용 해서 t프랑 t를 알아냈지만 2 3에서는 마이크 값 자체들이 접선의 기울을 값인 거지 내가 어떻게 2 4 그래프를 그렸는지 궁금할 거야 물론 수천 개의 활성 그래프를 구해서 합쳐놓은 건 아니겠지 당연히 그렇게 구하진 않았어 훨씬 더 빠른 방법이 있거든 하지만 다음 장에서 설명할 때까지 기다려주길 바라 또한 24에서 tft가 t가 변할 때 같이 변하는 걸 알 수 있어요.

잠깐 도수 프랑키가 우리가 찾던 변함수 양성 변화의 변화를 설명하는 건 또 어떤 향수인 거지라고 묻는다면 아주 좋은 질문 그것 또한 다음 장에서 설명하도록 할게 일단 아침부터 먹고 말이야 영화관에서 가장 좋은 좌석을 찾아보자입니다.
영화관에 들어가서 7번 상영관으로 갔지 매점을 지나치면서 다시 영화가 비싼지

생각이 들었어 7반 영화관 안에서 영화 관람객들이 항상 마주하는 문제에 마주쳤지 어디에 앉아야 할까 아까 내가 단둘이 온도에 대해 얘기하면서 조라이다는 수학자의 결혼에서 생긴 단점을 느끼게 되었지 이제야말로 장점을 보여줘야겠어 조라이다는 서서 좋은 좌석 인지를 둘러보고 있었어 나는 뒤로 몸을 젖히면서 이렇게 말했지 나에게 맡겨

티플 마인드에 나왔던 러셀 크로우처럼 공식적인 내 머릿속에서 움직이기 시작했지 다 영화관 그림이 있습니다.
몇 초 내로 온 숫자들을 빠르게 기상해서 세 번째 주에 있는 좌석을 골랐지 여기가 바로 영화에서 가장 좋은 좌석이야 물론 정말 모든 걸 이렇게 빨리 한 건 아니야 사실 이거 이전에 한 번 계산해 본 적이 있거든요.

그리고 영화관의 크기도 그때와 달라지지 않았으니까 그때 했던 계산이 여전히 맞겠지 영화 스크린이 높이나 의수 좌석이 각포 등과 같은 영화관의 요인들을 생각해 보면서 그림 위에 도예를 만들었어 어떻게 좋은 자리를 찾았는지 말해줄게 우선 최고라는 게 어떤 건지 정리해야 해 이걸 수학적으로 말하자면 시각 시아가 세타의 최댓값을 찾는 거야

즉 이런 줄에서 어떤 자리에 앉더라도 스크린 전체를 뚜렷하게 보게 되지 삼각 형태를 사용해서 abs x와 어떤 관계가 있는지를 구해보자 x는 크로스 2a 분의 n제곱 플러스 b제곱 마이너스 576 이때 a와 b는 다음 식을 통해 구할 수 있어 1 제곱은 10 x 코사인 베타이 제곱 플러스 30 마이너스 x 사 베이 제곱 2 제곱은 10 x 코사인 베타이 제곱 플러스 6 마이너스 x 사인 베이 제곱 여기에서 갖고 베타는

좌석이 기울어진 각도를 나타내고 내 예상에는 약 20도 정도 기울어졌다고 생각해 오장에서처럼 세타 엑스의 정류점을 찾을 수도 있지만 세타 x의 도함수를 찾는 것은 정말 끔찍할 거야 대신 00보다 크거나 그렇고 3보다 작거나 같을 때 세타 x의 그래프를 7 3 나타냈어 x가 약 7 37일 때 세타의 최댓값을 찾을 수 있어 영화 간의 줄 사이가 대략 3피트 정도 떨어져 있다고 한다면

2번째나 3번째 줄이겠지 이게 바로 내가 앞서 자서 고민이지 안타깝게도 이러한 대단한 제안에도 불구하고 드라이다는 별로 설득되지 않은 것 같아 그렇긴 하지만 넥스 맞은 제안도 수학자와 결혼한 장점 중 하나이지 않을까 여기 어디에 적분이 숨어 있을까 자리에 앉아 여기 잔들을 보는데 사람들이 들어오면서 별로 적절하지 않은 좌석에만 앉는 걸 알아차렸지

만약 관람객이 상대적으로 즐겁게 영화 관람을 하길 바란다면 영화관이 관객들에게 가능한 최선의 시야각을 제공하려고 노력해야 한다고 그 방법의 하나는 항상 평균 시야각이 최소한 특정 값 a가 유지되고 설계하는 거야 만약 영화관에 30줄이 있다면 한 줄다 3피트 정도 되니까 거리 x의 범위는 0보다 크거나 하고 x는 50보다 작고 갔다가 될 거야 그리고 다음과 같이 쓸 수 있지 90이 0분의 1

내가 너무 눈을 크게 뜨고 영화관을 요인을 쳐다봤는지도 모르지만 번 솔사에서와 컴퓨터 모델을 사용해서 에이비 등의 값을 조절해서 이 최소 평균 시약 조건을 만족시킬 수 있을 거야 아마 미분과 적분의 영화관에서 사용하는 건 조금 지나쳤을지도 모르지 하지만 아주 관련이 없는 이야기는 아니야 실제 비슷한 방식의 심포니 홀 콘서트 홀

짓는 데 사용해 예를 들어 보스턴 심포니홀을 짓는데 하버드의 물리학자 웨이스 세븐에 도움을 주었지 왜 전문 지식을 통해 지은 심포니홀이 음향 시설 면에서 세계 3대 심포니홀로 뽑히게 만들었지 그렇죠 우리가 영화를 보는 영화관이 그런 노력을 통해 지어졌는지도 모르지만 영화가 시작되려고 하니까 이런 생각을 멈추고 이제 드디어 영화를 지키다

이 책의 저자는 일상생활의 하루를 통해서 모닝커피 한 잔부터 저녁에 영어 관람까지 수학으로 설명하고 있습니다.
우리의 일상적인 삶과 미적분을 연결해서 친절하게 미적분의 기본으로 안내하는 책이에요.
커피가 식는 것부터 우산을 때리는 빗방울까지 매일의 삶을 다시금 새롭게 바라보게 만듭니다.
익숙한 일상생활의 사건과 관련된 뮤직 보닥을 스토리텔링 형식으로 쉽게 이해하도록 도와줍니다.

감사합니다. 또 다른 좋은 책으로 만나 뵐게요